1.5 Principio de Arquímedes

Al sumergir un cuerpo dentro de un recipiente que contiene agua, podemos observar que se produce un cambio de nivel en el líquido. Esto se debe a que el objeto desplaza parte del líquido. El volumen de fluido desplazado depende del volumen del cuerpo que se sumerge. El volumen de fluido que se desplaza es igual al del cuerpo que se sumerge (ver figuras inferiores).

En el siglo III a. C., Arquímedes (287-212 a. C.) estudió este hecho, y postuló su principio, que enuncia lo siguiente: “Un cuerpo sumergido parcial o totalmente en un fluido experimenta una fuerza de empuje vertical hacia arriba igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo”.

El principio de Arquímedes se basa en dos hechos:

• La presión, cuando un fluido está en equilibrio, es la misma en todos los puntos situados a la misma profundidad.
• La presión aplicada en un punto cualquiera del fluido se transmite sin variación en todas las direcciones y a todos los puntos del mismo (principio de Pascal).

Analicemos un poco más el principio:

Sobre un cuerpo sumergido actúan dos fuerzas; su peso, que es vertical y hacia abajo y el empuje que es vertical pero hacia arriba.

Si queremos saber si un cuerpo flota es necesario conocer su peso específico, que es igual a su peso dividido por su volumen.

Entonces, se pueden producir tres casos:

1. si el peso es mayor que el empuje ( P > E ), el cuerpo se hunde. Es decir, el peso específico del cuerpo es mayor al del líquido.
2. si el peso es igual que el empuje ( P = E ), el cuerpo no se hunde ni emerge. El peso específico del cuerpo es igual al del líquido.
3. Si el peso es menor que el empuje ( P < E ), el cuerpo flota. El peso específico del cuerpo es menor al del líquido.

Ahora experimenta:

1. Entender el problema e identificar las incógnitas

Para calcular el porcentaje de un iceberg que se encuentra fuera del agua, debemos establecer la razón entre el volumen sumergido y el volumen sobre el nivel del mar. Es necesario considerar que el sistema está en equilibrio, debido a que la fuerza neta en el eje vertical sobre el iceberg es igual a cero.

2. Registrar los datos

• Densidad del agua de mar: ρ_mar = 1030 kg/m³

• Densidad del hielo: ρ_hielo = 920 kg/m³

3. Aplicar el modelo

Como el iceberg se encuentra flotando, los módulos del empuje y del peso del agua desalojada por el iceberg serán iguales. Luego, el modelo matemático que aplicamos es:

donde V_s es el volumen sumergido y V_i es el volumen total del iceberg. Al ordenar los valores de la proporción y remplazar los datos, resulta:

4. Respuesta

La porción del iceberg que se encuentra sumergida corresponde al 89 %. Por lo tanto, sobre la superficie del agua se encuentra el 11 % del volumen total del iceberg. Este resultado es una muy buena aproximación a lo que ocurre en la realidad, ya que solo se puede observar sobre la superficie del agua una pequeña fracción del volumen total del iceberg.

1. Siguiendo el razonamiento del problema resuelto, responde las siguientes preguntas.

a. Si en vez de agua de mar se tratara de agua destilada, ¿qué porcentaje del hielo estaría bajo el nivel de la superficie?

b. ¿Qué porcentaje del volumen del iceberg flotaría, si se tratara de un mar de mercurio?

c. ¿Qué densidad tendría que tener el líquido para que la mitad del iceberg estuviera sumergido?

2. Un cascarón esférico de densidad desconocida(ρ_x) flota en agua de mar, de manera tal que tiene la mitad de su volumen sumergido.  Si la esfera tiene radios interiores a = 90 cm y b = 100 cm, ¿cuál debe ser la densidad de la esfera, para que la mitad de su volumen quede sumergido?, ¿cuál es el empuje ejercido por el agua?