1.4 Relación con el Movimiento Circular Uniforme


 

 

Hay una conexión cercana entre el movimiento armónico simple y el movimiento circular uniforme, (que es periódico pero no oscilatorio). El movimiento armónico simple es la proyección del movimiento circular uniforme en cualquier diámetro. Para un mejor entendimiento del tema se debe comprobar que esa proyección ortogonal del movimiento circular uniforme (MCU) de una partícula sobre un plano vertical es un M.A.S. Esta proyección se logra utilizando una fuente luminosa sobre el MCU.
En el M.A.S la aceleración de la partícula es proporcional a su desplazamiento  desde su posición de equilibrio, y es de sentido contrario a su desplazamiento, es decir: ; Donde K es constante.

El movimiento de la proyección ortogonal de la partícula en un plano vertical, el movimiento se sucede en un segmento de recta que coincide con el diámetro  de la circunferencia descrita. Para demostrar que el movimiento de dicha proyección ortogonal es un M.A.S. se tiene que probar que el cociente  es una constante para todos los valores de X.
Sea V  la rapidez de la partícula y  la aceleración centrípeta, la cual está dirigida hacia el centro de la circunferencia de radio R.

 

Se proyecta el movimiento de la partícula P sobre el diámetro , donde P' es la proyección ortogonal de P sobre dicho diámetro. 

P' se mueve con movimiento oscilatorio entre los puntos extremos del diámetro. Cuando la partícula se mueve a lo largo de la trayectoria con MCU, la proyección P' se mueve a uno y otro lado del centro 0, a lo largo del diámetro , es decir, cuando P da una vuelta completa, P' dará una oscilación sobre el diámetro.
Cualquiera que sea la posición, velocidad, aceleración de la partícula P , su proyección ortogonal sobre el diámetro  determina igualmente la posición, velocidad y aceleración de P'.

Observe que la aceleración centrípeta  se ha descompuesto en sus dos componentes rectangulares y  que como puede verse la segunda es paralela al diámetro .

La aceleración centrípeta en el MCU:

Los triángulos OPP' y el formado por los vectores   y , los cuales son semejantes. ¿Por qué? Ambos son triángulos rectángulos y tiene un ángulo en común (Vértice P), luego, sus lados respectivos son proporcionales:

 

; reemplazando  y despejando a, la aceleración de P´
Como la rapidez (V) y el radio (R)
son constante, el cociente. Por lo que la anterior ecuación es de la forma
a = - k x que indica que la aceleración  es la aceleración de P' es proporcional al desplazamiento y de sentido contrario a él.

Finalmente se puede expresar que el movimiento circular uniforme se puede considerar como una combinación de dos movimientos armónico simple.

Un movimiento armónico simple es la proyección de la trayectoria de un movimiento circular uniforme sobre uno de los diámetros vertical u horizontal .